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– cas social –

     Pourquoi, pourquoi, pourquoi le OU exclusif à trois entrées n’a-t-il rien d’exclusif ?

Le OU exclusif à deux entrées
     Celui-là, on le connaît (et bon, on va l’appeler XOR [Ah ! Nos jeunes années...]) Sa table de vérité est la suivante :

B

A

Q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

     Son équation booléenne, on la connaît aussi :

     soit :

Le XOR à trois entrées
     Si l’on suit une logique imparable qui consiste à dire "la sortie est au NL1 si on a exclusivement une entrée au NL1", alors la table de vérité sera :

C

B

A

Q

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

     MAIS c’est FAUX !
     Non, le OU exclusif n’a rien d’exclusif lorsqu’il passe à 3 entrées (ou plus).
     Non.
     Sa table de vérité est la suivante :

C

B

A

Q

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

La grande question
     Mais pourquoi ?

Les pistes proposées
     – Première raison possible : on utilise dans 90 % des cas des OU exclusif à 2 entrées. Allez, on peut même dire 98 %... Du coup, on a oublié une petite chose, qui est que le OU exclusif a plusieurs noms distincts (qui sont autant de propriétés distinctes). Trois, pour être exact. On les voit dans un instant.
     – Deuxième raison possible : sauf erreur, la OU exclusif à trois entrées a été mise sur le marché après 1989... Jusqu’à cette date, la question pratique ne se posait donc même pas... En effet, en 1989, Horowitz et Hill (deux Majors de l’électronique, au même titre que Milmann) affirment "elle n’a jamais plus de deux entrées". Cependant une question reste en suspens : ...Sous-entendu "elle n’existe pas" ou "on ne doit pas l’appeler comme ça" ??

Les trois propriétés en question
     – Primo, le OU exclusif est un "OU EXCLUSIF" (je suis d'accord, c'est assez fort !) : si A=1 exclusivement ou B=1 exclusivement.
     Cette propriété n’est vraie que pour un XOR à 2 entrées.

     – Secundo, le OU exclusif est un "COMPARATEUR DE DIFFERENCE" ou "COMPARATEUR D’INEGALITE" : si A est différent de B.
     Cette propriété n’est vraie que pour un XOR à 2 entrées.
     A l’inverse, le est un "COMPARATEUR D’IDENTITE" ou "DETECTEUR D’EGALITE".

     – Tertio, le OU exclusif est une "CLEF D’IMPARITE" : si un nombre impair d’entrées est au NL1.
     Cette propriété est vraie pour un XOR à un nombre d’entrées quelconque.
     A l’inverse, le est une "CLEF DE PARITE".

     C’est cette dernière fonction qui aurait dû donner le nom à cette porte.
     Mais pourquoi on l’a appelée XOR ?
     Allez savoir...
     Mais souvenez-vous du 98 %...
     Ben oui, ça a dû jouer, quand même...

Jouons quelque peu aux Boole(s)
     Pour les sceptiques, il suffit de se souvenir (allez, ressortez vos cours, vos livres, et tout le toutim...) que l’opérateur XOR est associatif et commutatif.

     – Associatif :
     – Commutatif :

     On sait, d’autre part, que :

     Donc :

     Soit :

     Là-dessus, on applique deux-trois De Morgan :


     On simplifie un peu :

     Maintenant on distribue tout ça :


     On simplifie un peu :

     Et au final :

(BAC ?? Clin d’oeil à mes jeunes...)

     Après cette petite partie de pétanque, on peut affirmer le classique :
     
"CQFD".

     Si on avait voulu un "vrai" OU exclusif à 3 entrées il aurait fallu trouver :

     Mais l’algèbre de Boole est imparable là-dessus.
     Et notre ami Babar n’y peut rien non plus.

Une dernière remarque, pour la route
     Reste à souligner que pour complémenter un XOR, il suffit de complémenter une de ses variables (ou un nombre impair de ses variables) :


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màj 080106